夏晓光(loveJY)的博客

又是一道啊

题意简述：

有$n$面玻璃，第$i$面的透光率为$a$，反射率为$b$

问把这$n$面玻璃按顺序叠在一起后$n$层玻璃的透光率。

$0 < a_i \le 1$，$0 \le b_i < 1$。

首先是物理题,需要一点物理题的经典思路:合并模型

考虑把n面玻璃两两合并为1面

设a1为合并过程中第1面镜子透光率,b1位第一面镜子反光率

先求新a1

• 第一束光:$a_1a_2$(直接过)
• 第二束光:$a_1a_2b_1b_2$(反弹一次)
• 第三束光:$a_1a_2b_1^2b_2^2$反弹两次

$=\sum_{i=0}^{\inf}a_1a_2(b_1b_2)^i=\frac{a_1a_2(1-(b_1b_2)^{\inf})}{1-b_1b_2}$

又因为一定收敛:

$a'=lim_{n->\inf}....=\frac{a_1a_2}{1-b_1b_2}$

再求新b1

• 第一束光:$b_2$(直接反射)

• 第二束光: $a_2^2b_1$(第二块玻璃反射一次再穿越第一块两次)

• 第三束光:$a_2^2b_1^2b_2$

  $b'=b2+\frac{a_2^{2}*b_1*(1-(b_1b_2)^{\inf})}{1-b_1b_2}=b2+\frac{a_2^2b_1}{1-b_1b_2}$

  按此方法合并即可

  code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long

namespace fastIO {
#define BUF_SIZE (1<<19)
	static char buf[BUF_SIZE],*p1=BUF_SIZE+buf,*pend=BUF_SIZE+buf;
	inline char nc() {
		if(p1==pend) {
			p1=buf;
			pend=buf+fread(buf,1,BUF_SIZE,stdin);
		}
		return *p1++;
	}

	inline int read() {
		int x=0,f=1;
		char s=nc();
		for(; !isdigit(s); s=nc())if(s=='-')f=-1;
		for(; isdigit(s); s=nc())x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0';
		return x*f;
	}
}
using namespace fastIO;

const int P=1e9+7,inv=570000004;
//inv是100的逆元
inline ll ksm(ll x,int y) {
	ll ans=1;
	while(y) {
		if(y&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;
		y>>=1;
	}
	return ans;
}

int n,a1,a2,b1,b2,a,b,iv;

int main() {
	//freopen("test.in","r",stdin);
	n=read();
	a1=read(),a1=1ll*a1*inv%P;
	b1=read(),b1=1ll*b1*inv%P;
	while(--n) {
		a2=read();
		a2=1ll*a2*inv%P;
		b2=read();
		b2=1ll*b2*inv%P;
		iv=ksm(P+1-1ll*b1*b2%P,P-2);
		//套用公式
		a=1ll*a1*a2%P*iv%P;
		b=(b2+1ll*a2*a2%P*b1%P*iv)%P;
		a1=a,b1=b;
	}
	printf("%d\n",a1);
	return 0;
}